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エルメス ツイリー

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エルメス ツイリー

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2022年9月3日土曜日

ベクトルの問題は図形を描いて解くこと

【問1】
 平面上の3つのベクトル

が、

を満たしている。ただし、p,qは正の数でp≠qとする。

を、

を用いて表せ。
(問題おわり)


この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります。

リンク:
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2022年8月29日月曜日

ベクトルの基礎的公式一覧

【ベクトルの基礎的公式(1)】 
以下の公式のリストが一般的な参考書に書いてある。


【それ以外の基礎的公式】

ベクトル(a,b)
に垂直なベクトルは
(-b,a)
で求めることができる、
という基礎的な公式もある。

また。「ベクトルを分解する道を視線でたどって式を書く」のページ

https://schoolhmath.blogspot.com/2017/03/blog-post_13.html
に書いてある基礎的な公式:

がある。


「ひし形の対角線の直交の公式」

https://schoolhmath.blogspot.com/2017/09/blog-post_9.html
も基礎的な公式である。


「直交する単位ベクトルsとtに関する、任意のベクトルzの合成の公式」
https://schoolhmath.blogspot.com/2017/09/blog-post_17.html
も、基礎的な公式である。


あと、ベクトルで問題を解こうとするときに問題が解けずに挫折する場合があります。
そのときの裏技として、使うべき以下の公式があります。
「ベクトル計算での挫折を回避する方法」
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に書いてある公式です。それを覚え易い形にまとめて整理すると以下の式になる。


リンク:
高校数学の目次


2022年8月24日水曜日

三角形の内角の2等分線の長さの定理の式の覚え方

ベクトルの内積を使って、下図の三角形の長さa1,a2と頂角Aの二等分線の長さmの定理の式を簡単に覚えるようにしましょう。


(ベクトルa1とa2の内積が長さa1とa2の積です)
 この定理の式を覚えようとしても覚えられません(何度覚えても式を忘れます)。 定理の式が覚えられない対策として、この覚えられない式を速やかに導き出す方法を知ることで、式を覚えたのと同じ効果を得ましょう。
 そのため、以下のように定理の式を速やかに導出するようにしましょう。

(定理の式の導出おわり)
 これにより、長さa1とa2の積を長さmと長さbとcで表す式が簡単に求められた。

 ベクトルは、高校数学のかなめ石となっていますので、早めに学ぶ事をお勧めします。
 ベクトルにより、とても覚えにくかった三角形の余弦定理が覚え易くなります。
 また、ベクトルにより三角形の内角の2等分線の長さの定理が覚え易くなります。そのため、ベクトルを学びましょう。

やさしい高校数学《数Ⅱ・B》
の9章「ベクトル」
が、やさしくベクトルを学べるので良いと思います。


「やさしい高校数学」でベクトルを学ぶことを助言するサイト:
「【期末対策】「ベクトル」を1週間でマスターしよう!玉名高校2年生必見!」
https://www.takeda.tv/tamana/blog/post-207400/

「まず使うのはこちらの参考書です。
《やさしい高校数学 〈数Ⅱ・B〉 - はじめての人も学び直しの人もイチからわかる》

 ベクトルという分野は、全くゼロの状態から教科書を読み進めて問題を解いても、多分ちんぷんかんぷんだと思います。

 でも安心してください。それが普通です。そういう分野です。

 そんな方はまずこの参考書から始めましょう。こちらは解説・説明が非常に丁寧で、ベクトルの概念が分かりやすく解説されています。

 イメージとしては、分かりやすい先生の授業がそのまま参考書になったようなもので、ところどころ数学が苦手な生徒からの質問やツッコミが入ります。

まずはこれを読み進めましょう。

 ベクトルはこの参考書の9章で全部で32個のテーマ(約130ページ)に分かれています。

 なので、1日8テーマずつ読み進めてみてください。そうすれば4日ですべて読み終わる計算になります。」

 以上のように助言されていますが、
種々の定理を覚えるための「ベクトルの内積の計算」までを理解するためには、
そのうちの35ページを読むだけで足りる。
737ページから772ページまで読めば良い。(1日で読めると思います)。



リンク:
高校数学の目次


2022年8月22日月曜日

三角形の面積をベクトルで表す公式

 ベクトルは、高校数学のかなめ石となっていますので、早めに学ぶ事をお勧めします。
 ベクトルにより、とても覚えにくかった三角形の余弦定理が覚え易くなります。
 また、ベクトルにより三角形の面積が計算し易くなります。そのため、三角形の面積を計算するために、ベクトルを学びましょう。

(ベクトルの定義)
 数ベクトルとは,ざっくりいうと数を並べたものです。数を並べたものを「ベクトル」という一つのかたまりとして扱うことで,いろいろ便利なことがあるわけです。

 2次元のXY座標平面での点Aから点Bまでの(x,y)座標値の増分(Δx,Δy)がベクトルであり、3次元のXYZ座標空間での点Aから点Bまでの座標値の増分がベクトルです。それら、座標値の増分を表すベクトルは、点Aから点Bまでの矢印であらわし、矢印の大きさがあり、(大きさが0で無い場合に限り)方向がある、という特徴を持っています。

やさしい高校数学《数Ⅱ・B》
の9章「ベクトル」
が、やさしくベクトルを学べるので良いと思います。


「やさしい高校数学」でベクトルを学ぶことを助言するサイト:
「【期末対策】「ベクトル」を1週間でマスターしよう!玉名高校2年生必見!」
https://www.takeda.tv/tamana/blog/post-207400/

「まず使うのはこちらの参考書です。
《やさしい高校数学 〈数Ⅱ・B〉 - はじめての人も学び直しの人もイチからわかる》

 ベクトルという分野は、全くゼロの状態から教科書を読み進めて問題を解いても、多分ちんぷんかんぷんだと思います。

 でも安心してください。それが普通です。そういう分野です。

 そんな方はまずこの参考書から始めましょう。こちらは解説・説明が非常に丁寧で、ベクトルの概念が分かりやすく解説されています。

 イメージとしては、分かりやすい先生の授業がそのまま参考書になったようなもので、ところどころ数学が苦手な生徒からの質問やツッコミが入ります。

まずはこれを読み進めましょう。

 ベクトルはこの参考書の9章で全部で32個のテーマ(約130ページ)に分かれています。

 なので、1日8テーマずつ読み進めてみてください。そうすれば4日ですべて読み終わる計算になります。」

 以上のように助言されていますが、
三角形の面積の公式に使っている「ベクトルの内積の計算」までを理解するためには、
そのうちの35ページを読むだけで足りる。
737ページから772ページまで読めば良い。その中で三角形の面積の公式も説明されている(1日で読めると思います)。


(ベクトルの合成と分解)
 ベクトルの合成と分解のコツは、「ベクトルを分解する道を視線でたどって式を書く」(この行をクリックした先のページ)に書きました。


「ベクトルAE=点Aから点Eまで行く道」です。点Aをベクトルの始点と言い、点Eをベクトルの終点と言います。

ベクトルAEを、以下の式のように、実数の未知数tを使ってベクトルaとベクトルcであらわす。

ベクトルAEの紐の真ん中を点Oまで引っ張って紐AOEにして、真ん中の点Oで紐を切って紐AOと紐OEに分ける。
そして、紐AOの方向を逆にしたベクトルOAにして、マイナスを付けて①にする
①は、視線がベクトルaを逆向きにたどったのでマイナスを付けると考えても良い。
②は、順向きなので”+”のまま。

 ベクトルAEのAからの道AOの向きがベクトルaと逆方向に進むことを確認してベクトルaにはマイナスを付けてベクトルAEの展開式を書くようにします。
 こうすることで、思い込みによりベクトルaの符号をプラスにして式を書いてしまうミスを防げます。

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 「ベクトルPと単位ベクトルAの内積はベクトルPの単位ベクトルへの正射影」(この行をクリックした先のページ)に書きました


単位ベクトルA=ベクトルOA=(a,a)の長さの2乗は、
(a・a)+(a・a)=1 (式1)
であらわすことができる。
その値は、単位ベクトルAがどの方向を向いていても1になる。

この式1を拡張して、
ベクトルP=ベクトルOP=(p,p
があり、
単位ベクトルA=ベクトルOA=(a,a
がある場合に、
ベクトルPと単位ベクトルAの内積演算を、以下の式2で定義する。



その定義の結果、以下の式4が成り立つ。
この式のθは、ベクトルPが単位ベクトルAと成す角度です。
 ベクトルPと単位ベクトルAの内積は、ベクトルPの単位ベクトルAの方向への正射影の長さをあらわします。

《三角形の面積をベクトルで表す公式》

「三角形の面積のベクトル・成分を用いた公式」のサイトから引用しました。
 また、以下の計算でも三角形の面積を求めることができます。

このように、三角形の面積Sを、ベクトルの内積を使った公式等の式で簡単に計算できます。

リンク:
高校数学の目次


2022年8月10日水曜日

やさしい高校数学《数Ⅱ・B》の9章「ベクトル」を読んで余弦定理を覚える

 ベクトルは、高校数学のかなめ石となっていますので、早めに学ぶ事をお勧めします。
 ベクトルにより、とても覚えにくかった三角形の余弦定理が覚え易くなります。
そのため、三角関数の余弦定理が出てきたら、先ず、ベクトルを、内積の概念まで学びましょう。

(ベクトルの定義)
 数ベクトルとは,ざっくりいうと複数の数を並べたものです。複数の数を並べたものを「ベクトル」という一つのかたまりとして扱うことで,いろいろ便利なことがあるわけです。複数の数の各々のことを、ベクトルの成分と呼びます。

 2次元のXY座標平面での点Aから点Bまでの(x,y)座標値(複数の成分を持つ)の増分(Δx,Δy)がベクトルであり、3次元のXYZ座標空間での点Aから点Bまでの座標値の増分がベクトルです。それら、座標値(複数の成分)の増分を表すベクトルは、点Aから点Bまでの矢印であらわし、矢印の大きさがあり、(大きさが0で無い場合に限り)方向があることもある、という特徴を持っています。
(位置ベクトルの定義)
 位置座標(x,y)と呼んでいた複数の成分の集合を、特別に、位置ベクトルと呼ぶことにしました。位置座標(x,y)は、原点Oを始点として位置座標の点を終点とするベクトル(複数の成分の集合)だからです。
(ベクトルに方向があるとは限らない)
 0ベクトル(0,0)には方向がありません。
0ベクトルのように、方向が無いベクトルもあります。


やさしい高校数学《数Ⅱ・B》
の9章「ベクトル」
が、やさしくベクトルを学べるので良いと思います。


「やさしい高校数学」でベクトルを学ぶことを助言するサイト:
「【期末対策】「ベクトル」を1週間でマスターしよう!玉名高校2年生必見!」
https://www.takeda.tv/tamana/blog/post-207400/

「まず使うのはこちらの参考書です。
《やさしい高校数学 〈数Ⅱ・B〉 - はじめての人も学び直しの人もイチからわかる》

 ベクトルという分野は、全くゼロの状態から教科書を読み進めて問題を解いても、多分ちんぷんかんぷんだと思います。

 でも安心してください。それが普通です。そういう分野です。

 そんな方はまずこの参考書から始めましょう。こちらは解説・説明が非常に丁寧で、ベクトルの概念が分かりやすく解説されています。

 イメージとしては、分かりやすい先生の授業がそのまま参考書になったようなもので、ところどころ数学が苦手な生徒からの質問やツッコミが入ります。

まずはこれを読み進めましょう。

 ベクトルはこの参考書の9章で全部で32個のテーマ(約130ページ)に分かれています。

 なので、1日8テーマずつ読み進めてみてください。そうすれば4日ですべて読み終わる計算になります。」

 以上のように助言されていますが、
余弦定理を覚えるためには、
そのうちの35ページを読むだけで足りる。
737ページから772ページまで読むだけで足りる(1日で読めると思います)。

そこまで読んだら、
「ベクトルによる三角形の余弦定理のやさしい覚え方」のページ(ここをクリック)
を読んで、余弦定理をベクトルの内積で導出して覚えてください。



(ベクトルの合成と分解)
 ベクトルの合成と分解のコツは、「ベクトルを分解する道を視線でたどって式を書く」(この行をクリックした先のページ)に書きました。


「ベクトルAE=点Aから点Eまで行く道」です。点Aをベクトルの始点と言い、点Eをベクトルの終点と言います。

ベクトルAEを、以下の式のように、実数の未知数tを使ってベクトルaとベクトルcであらわす。

ベクトルAEの紐の真ん中を点Oまで引っ張って紐AOEにして、真ん中の点Oで紐を切って紐AOと紐OEに分ける。
そして、紐AOの方向を逆にしたベクトルOAにして、マイナスを付けて①にする
①は、視線がベクトルaを逆向きにたどったのでマイナスを付けると考えても良い。
②は、順向きなので”+”のまま。

 ベクトルAEのAからの道AOの向きがベクトルaと逆方向に進むことを確認してベクトルaにはマイナスを付けてベクトルAEの展開式を書くようにします。
 こうすることで、思い込みによりベクトルaの符号をプラスにして式を書いてしまうミスを防げます。

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 「ベクトルPと単位ベクトルAの内積はベクトルPの単位ベクトルへの正射影」(この行をクリックした先のページ)に書きました


単位ベクトルA=ベクトルOA=(a,a)の長さの2乗は、
(a・a)+(a・a)=1 (式1)
であらわすことができる。
その値は、単位ベクトルAがどの方向を向いていても1になる。

この式1を拡張して、
ベクトルP=ベクトルOP=(p,p
があり、
単位ベクトルA=ベクトルOA=(a,a
がある場合に、
ベクトルPと単位ベクトルAの内積演算を、以下の式2で定義する。



その定義の結果、以下の式4が成り立つ。
この式のθは、ベクトルPが単位ベクトルAと成す角度です。
 ベクトルPと単位ベクトルAの内積は、ベクトルPの単位ベクトルAの方向への正射影の長さをあらわします。

リンク:
高校数学の目次


2022年6月11日土曜日

因数分解のたすき掛けの方法

【問題1】 
以下の式を因数分解する:


この式は、以下のたすき掛けの方法で因数分解できます。

こうして、
f=(2x+3)(x+2),
に因数分解できました。


リンク:
高校数学の目次


2022年6月8日水曜日

6人をA,B,Cの3組に分ける組分けの数

 【課題1】
 3人をA,B,Cの3組に分ける、分け方の分類毎の組分けの数を求める。

【解答】
(1)先ず、3人をA,B,Cの3組に分ける組分けの総数は、

通りある。
すなわち、3人をA,B,Cの3組に入れる事象の連鎖の糸の総数が27本ある。

(2)次に、この27個の事象の連鎖の糸を、A組にm人、B組にn人、C組にt人という組の人数の事象の連鎖の種類で分類した枝に束ねる。すなわち、組の人数の事象の連鎖の枝毎に、対応する事象の連鎖の糸を割り当てて編集した以下の樹形図を作成する。


この樹形図から、組み分け人数の枝のバラエティの数(組の人数の事象の連鎖の枝の数)は、10通りあることがわかる。(その各枝は、上式の各項に対応している)

 しかし、各々の組の人数の事象の連鎖の枝に対応する人の組み合わせの数は、以下に示す通りに、異なっている。
(2-1)3人を1つに組に入れる場合は、その組名のバラエティの数の3つの枝に分岐する。
 その1つの枝毎の、その1つの組に入る人のバラエティの数は、1つだけである。
(2-2)3人を2つの組に(各組に1人以上)入れる場合の枝は、2人を入れる第1の組名を選ぶバラエティの数の3と、その他の2つの組から、1人を入れる第2の組名を選ぶバラエティの数の2との積の、6つの枝に分岐する。
 その1つの枝毎の、その2つの組に3人を入れるバラエティの数は、第2の組にどの1人の人を入れるかのバラエティの数であり、3である。
 その6つの枝の数とバラエティの数の積の値は:上図の式(x+y+z)^3を用いると、3人を各組に1人以上入れて2つの組に入れる組分けの数であり、その値は、式の各項に対応する6つの枝に関して、以下の式の左辺と右辺との2通りに計算できる。


(2-3)3人を3つの組に(各組に1人以上)入れる場合の枝は、組の偏りが無いので、組名3つのバラエティの数が1つだけなので、1つの枝に分岐する。
 その1つの枝での、その各組に人を入れるバラエティの数は、組Aにどの人を入れるかのバラエティの数3と、組Bに残りの2人のうちの1人を入れるバラエティの数2との積であり、6である。
(3)なお、各枝毎の、どの人によって各組を編成するかの組編成の組み合わせの数は、上図に記載した式(x+y+z)^3を展開した各項の係数に対応する関係がある。

(4)上図の式(x+y+z)^3を用いると、3人を各組に1人以上入れてA,B,Cの3組に分ける組分けの数は、式の項に対応する1つの枝に関して、以下の式の左辺と右辺との2通りに計算できる。

(解答おわり)

【課題2】
 4人をA,B,Cの3組に分ける、分け方の分類毎の組分けの数を求める。

【解答】
 各組を編成するかの組編成は、下図に記載した式(x+y+z)^4を展開した各項と、その係数に対応させて把握できる。

 そして、4人を各組に1人以上入れて2つの組に入れる組分けの数の値は、式の項に対応する9つの枝に関して、以下の式で計算できる。

 また、4人を各組に1人以上入れてA,B,Cの3組に分ける組分けの数は、式の項に対応する3つの枝に関して、以下の式で計算できる。

(解答おわり)

【課題3】
 5人をA,B,Cの3組に分ける、分け方の分類毎の組分けの数を求める。

【解答】
 各組を編成するかの組編成は、下図に記載した式(x+y+z)^5を展開した各項と、その係数に対応させて把握できる。

 5人を各組に1人以上入れてA,B,Cの3組に分ける組分けの数は、式の項に対応する12個の枝に関して、以下の式で計算できる。

 また、5人を各組に1人以上入れてA,B,Cの3組に分ける組分けの数は、式の項に対応する6つの枝に関して、以下の式で計算できる。

(解答おわり)

【課題4】
 6人をA,B,Cの3組に分ける、分け方の分類毎の組分けの数を求める。

【解答】
 各組を編成するかの組編成は、下図に記載した式(x+y+z)^6を展開した各項と、その係数に対応させて把握できる。

 6人を各組に1人以上入れてA,B,Cの3組に分ける組分けの数は、式の項に対応する15個の枝に関して、以下の式で計算できる。

 また、6人を各組に1人以上入れてA,B,Cの3組に分ける組分けの数は、式の項に対応する10個の枝に関して、以下の式で計算できる。

(解答おわり)

(補足)
 以上で与えた一連の等式を以下で導き出しておく。



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